VII.3. Задачи к теоретической карте №7

VII.3. Задачи к теоретической карте №7

№1.Отыскать площадь треугольника.

1. 2.

4.

7.

5. 6.

8.

В

30°
9.

В
С
А

10. 11. 12.

Рис. 178

№2. Вычислить площадь равнобедренного треугольника, если длина его высоты, проведенной к боковой стороне, равна 12 см, а длина основания равна 15 см.

План решения.

1. КС.

2. ∆АКС~∆BDС.

3. ВD.

4. S∆АBС.

Ответ: 75 см2.

Применяемые факты из теоретической карты: 1.

№3.Диагонали разбивают трапецию на четыре треугольника. Обосновать, что треугольники, прилежащие VII.3. Задачи к теоретической карте №7 к её боковым сторонам равновелики.

План подтверждения.

1. ОВ∙АО = ОС∙ОD.

2.

Применяемые факты из теоретической карты: 2.

№4. В треугольнике АВС даны три стороны АВ=26, ВС=30, АС=28.
Найти часть площади этого треугольника, заключенную меж высотой и биссектрисой, проведенными из верхушки В.

План решения.

1. S∆ABC

2. BH.

3. AH.

4. LA.

5. LH.

6. S∆LHB VII.3. Задачи к теоретической карте №7 Ответ: 36.

Применяемые факты из теоретической карты: 1, 3.

№5. Стороны треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найти радиус окружности, которая имеет центр на средней стороне и касается 2-ух других сторон.

План решения.

1. S∆ABC .

2. BH.

3. ОВ – биссектриса.

4. ОС.

5. S∆ОBC .

6. ОК = r.

Ответ: 6 см.

Применяемые факты из теоретической карты: 1, 3.

№6. Обосновать, что VII.3. Задачи к теоретической карте №7 сумма расстояний от хоть какой точки, взятой снутри правильного треугольника, до его сторон равна 3r, где r – радиус вписанной в этот треугольник окружности.

План подтверждения.

1. S∆ABC = (р1+р2+р3)∙а.

2. S∆ABC=

3. р1+р2+р3=3r

Применяемые факты из теоретической карты: 1, 4.

№7. В треугольник вписан круг радиуса 4 см. Одна из VII.3. Задачи к теоретической карте №7 сторон треугольника разбита точкой касания на части, равные 6 см и 8 см. Отыскать длины 2-ух
других сторон.

План решения.

1.

2. sin

3. AL.

4. Выразить S∆ABC через BL.

5. Выразить P∆ABC через BL.

6. Выразить S∆ABC через радиус вписанного

круга.

7. BL из равенства площадей (4) и (6).

8. АВ. 9. ВС.

Ответ: 13 см и 15 см.

Применяемые факты из теоретической VII.3. Задачи к теоретической карте №7 карты: 2, 4.

№8.Стороны треугольника ABC равны 20 см, 34 см и 42 см. Отыскать отношение площадей вписанного и описанного кругов.

План решения.

1. S∆ABC. 2. R. 3. p∆ABC. 4. r. 5. Ответ:

Применяемые факты из теоретической карты: 3, 4,5.

№9.Обосновать, что для всякого треугольника имеет место равенство где r – радиус описанной окружности.

План подтверждения.

1. 2. 3. 4.

Применяемые факты из VII.3. Задачи к теоретической карте №7 теоретической карты: 1, 4.

№10.Через середину стороны правильного треугольника проведена ровная, образующая с этой стороной угол α. Отыскать отношение площадей тех частей, на которые эта ровная разбивает треугольник.

План решения.

Пусть сторона данного треугольника равна а.

1. 2. sin 3. РМ. 4. S∆PBM.

5. S∆ABC. 6. SAPMC. 7.

Ответ: 2 сtg α + 1.

Применяемые факты из теоретической карты: 2, 6.

№11.В треугольнике VII.3. Задачи к теоретической карте №7 АВС проведена медиана ВD. Отыскать отношение радиуса окружности, описанной около треугольника АВD, к радиусу окружности, вписанной в треугольник АВС, если АВ=2, АС=6 и

План решения.

1. АD. 2. S∆АВD. 3.ВD.

4. R∆АВD. 5. ВС. 6. р∆АВС.

7. S∆АВС. 8. r∆АВC. 9. R∆АВD: r∆АВC.

Ответ:

Применяемые факты из теоретической карты VII.3. Задачи к теоретической карте №7: 2. 4, 5.

№12. Площадь треугольника равна 16 см2, медианы ma и mb равны
соответственно 6 см и 4 см. Обосновать, что эти медианы перпендикулярны.

План подтверждения.

1. Выразить площадь данного треугольника через медианы ma и mb.

2. Отыскать синус угла меж медианами.

3. ma mb.

Применяемые факты из теоретической карты: 7.

№13. Площадь равнобедренного треугольника равна S, а угол меж медианами, проведенными к VII.3. Задачи к теоретической карте №7 боковым сторонам, равен α. Отыскать основание треугольника.

План решения.

1. АА1=СС1. 2. АО=ОС. 3.

4. Выразить АО через АА1.

5.Выразить АК через через АА1.

6. Выразить АС через через АА1.

7. Выразить АА1 из формулы площади S данного

треугольника.

8. Подставить в формулу (6) выражение АА1 через S.

Ответ:

Применяемые факты из теоретической карты: 7.

№14. Периметр прямоугольного треугольника VII.3. Задачи к теоретической карте №7 равен 2р, а гипотенуза равна с. Найти площадь круга, вписанного в этот треугольник.

План решения.

1. Выразить площадь треугольника через полупериметр и радиус вписанного круга.

2. Выразить площадь треугольника через гипотенузу и радиус вписанного круга.

3. Составить уравнение и решить его относительно r.

4. Sкр. Ответ: .

Применяемые факты из теоретической карты VII.3. Задачи к теоретической карте №7: 4, 9.

№15. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, разделяет его на два треугольника, площади которых 6 и 54. Отыскать гипотенузу.

План решения.

1. ∆AСD~∆CBD.

2. Отыскать к– коэффициент подобия

треугольников AСD и CBD.

3. DC=3AD.

4. AD. 5. DC. 6. BD. 7. AВ.

Ответ: 20. Применяемые факты из теоретической карты: 8, 11.

№16. Отыскать острые углы прямоугольного треугольника, если понятно, что
отношение радиуса описанной VII.3. Задачи к теоретической карте №7 около этого треугольника окружности к радиусу вписанной в него окружности равно 1+ .

План решения.

1. Выразить АС через R и sinA.

2. Выразить S∆ABC через R и sin2A.

3. Выразить S∆ABC через R и r.

4. Составить равенство площадей (2), (3).

5. Вычислить из равенства (4) sin2A.

6. 2А. 7. А. 8. В. Ответ: 30°, 60° Применяемые VII.3. Задачи к теоретической карте №7 факты из теоретической карты: 2, 9.

№17. Данный параллелограмм поделить на три равновеликие части прямыми, выходящими из одной верхушки.

Дополнительные построения.

1. BD.

2. L: L AD и AL:LD=2:1.

3. K: К DC и DK:KC: 1·2.

План решения.

1. S∆АВL= S∆ABD = SABCD.

2. S∆ВKC= S∆CBD = SABCD. 3. SBLDK = SABCD.

Применяемые факты из теоретической карты: 10.

№18. Через VII.3. Задачи к теоретической карте №7 середину высоты равнобедренного треугольника проведены две прямые, соединяющие ее с верхушками основания. Какую часть площади треугольника составляет любая из 6 частей, на которые эти прямые и высота разбивают треугольник?

Дополнительное построение: DPêêAL.

План решения.

Пусть S∆AВC =S

1. S∆АOD = S∆DOC = S. 2. BL: LC= .

3. S∆OLC = 2 S∆BOL VII.3. Задачи к теоретической карте №7. 4. S∆BOС== S.

5. S∆BOL= 6. S∆OLC= .

Ответ: ; ; .

Применяемые факты из теоретической карты: 10.

№19. Через середину Е высоты BD равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) проведена ровная MN, параллельная AB (точка M принадлежит АС, точка N принадлежит ВС). Отыскать площадь треугольника CMN, если площадь треугольника АВС равна 32.

Дополнительное построение: DP||MN.

План VII.3. Задачи к теоретической карте №7 решения.

1. АМ = MD.

2. AD = DC.

3. - коэффициент подобия ∆CMN и ∆CBA.

4. S∆CMN.

Ответ: 18.

Применяемые факты из теоретической карты: 11.

№20. В треугольнике АВС, площадь которого равна 40 см2, точка D разделяет
сторону ВС в отношении BD:DC= 3:2. Отрезок AD пересекает медиану BK в точке Е. Отыскать площадь четырехугольника EDKC.

Дополнительное построение: KN VII.3. Задачи к теоретической карте №7 êêАD.

План решения.

1. S∆KBC . 2. BN:NC. 3. S∆KNC.

4. S∆KBN. 5. BD:ВN. 6. S∆BED.

7. SEDNK. 8. SEDCK.

Ответ: 11 см2.

Применяемые факты из теоретической карты: 10, 11.


VIII. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ


vii-podvedenie-itogov-i-nagrazhdenie-polozhenie-o-provedenii-otkritoj-intellektualno-tvorcheskoj-igri-mi-omichi.html
vii-podvedenie-itogov-konkursa-i-nagrazhdenie.html
vii-podvedenie-itogov-olimpiadi.html